变换

模型变换

01.

缩放

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ \\ y^{\prime }\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ \\ 0& s_y\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \\ y\\ \end{array}\right]$$

切变

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ \\ y^{\prime }\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& a\\ \\ 0& 1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \\ y\\ \end{array}\right]$$

02.

旋转

$$R\mathrm{\_}\theta =\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{array}\right]$$

推导：

03.

线性变换(Linear Transforms)

$$x^{\prime }=ax+by$$$$y^{\prime }=cx+dy$$$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ \\ y^{\prime }\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ \\ c& d\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \\ y\\ \end{array}\right]$$$$x^{\prime }=Mx$$

齐次坐标

平移变换的特殊性：平移变换不是线性变换，想统一处理所以引入齐次坐标。

$$x^{\prime }=x+t_x$$$$y^{\prime }=y+t_y$$$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ \\ y^{\prime }\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ \\ c& d\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \\ y\\ \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ \\ t_y\\ \end{array}\right]$$

特殊性：平移变换不是线性变换，想统一处理所以引入齐次坐标。

方法：增加一个维度。

• $$2D:point=(x,y,1{)}^T$$
• $$2D:vector=(x,y,0{)}^T$$

注：向量具有平移不变性，所以此处 1 0

平移的矩阵表示：

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ \\ y^{\prime }\\ \\ w^{\prime }\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ \\ 0& 1& t_y\\ \\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ \\ y\\ \\ 1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+t_x\\ \\ y+t_y\\ \\ 1\\ \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}x\\ \\ y\\ \\ w\\ \end{array}\right)isthe2Dpoint\left(\begin{array}{c}x/w\\ \\ y/w\\ \\ 1\\ \end{array}\right)$$

04.

仿射变换

仿射变换 = 线性变换 + 平移变换

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ \\ y^{\prime }\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ \\ c& d\\ \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ \\ y\\ \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{t}_x\\ \\ t_y\\ \end{array}\right)$$

使用齐次坐标

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ \\ y^{\prime }\\ \\ 1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a& b& t_x\\ \\ c& d& t_y\\ \\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ \\ y\\ \\ 1\\ \end{array}\right)$$

05.

2D转换

• 缩放

$$S(s_x,s_y)=\left(\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ \\ 0& s_y& 0\\ \\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$$

• 旋转

$$R(\alpha )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ \\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$$

• 平移

$$T(t_x,t_y)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ \\ 0& 1& t_y\\ \\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$$

06.

逆变换

$$M^{-1}$$

07.

复合变换

先平移后旋转 与 先旋转后平移

矩阵乘法不满足交换律

$$R_{45}\cdot T_{(1,0)}\ne T_{(1,0)}\cdot R_{45}$$

注意，矩阵是从右向左应用的

$$T_{(1,0)}\cdot R_{45}\left[\begin{array}{c}x\\ \\ y\\ \\ 1\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ \\ 0& 1& 1\\ \\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ \\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \\ y\\ \\ 1\\ \end{array}\right]$$

分解复合变换

$$T(c)\cdot R(\alpha )\cdot T(-c)$$

08.

3D Transformations

• $$3D:point=(x,y,z,1{)}^T$$
• $$3D:vector=(x,y,z,0{)}^T$$

使用4x4的矩阵：

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ \\ y^{\prime }\\ \\ z^{\prime }\\ \\ 1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a& b& c& t_x\\ \\ d& e& f& t_y\\ \\ g& h& i& t_z\\ \\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ \\ y\\ \\ z\\ \\ 1\\ \end{array}\right)$$

问题：线性变换先还是平移变换先？ 答：看矩阵运算顺序[04.仿射变换]。

视图变换